问题 解答题

已知函数f(x)=log4(2x+3-x2).

(1)求f(x)的定义域;

(2) 求f(x)的单调区间.

答案

(1) {x|-1<x<3}

(2) 该函数的单调递增区间为(-1,1],单调递减区间为[1,3)

本题主要考查了对数函数与二次函数复合而成的复合函数的定义域、单调性及函数的值域的求解,求解单调区间时不要漏掉对函数定义域的考虑.

(1)由题意可得2x+3-x2>0,解不等式可求函数f(x)的定义域

(2)要求函数的单调性及单调区间,根据复合函数单调性,只要求解t=2x+3-x2在定义域内的单调区间即可

解 (1)令u=2x+3-x2,则u>0,可得函数定义域是:{x|-1<x<3}.…5分

(2) y=log4u.由于u=2x+3-x2=-(x-1)2+4.

再考虑定义域可知,其增区间是(-1,1],减区间是[1,3). ……7分

又y=log4u为(0,+∞)上的增函数,                      ……8分

故该函数的单调递增区间为(-1,1],单调递减区间为[1,3).    ……10分

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