问题 解答题

根据函数单调性的定义,证明函数f (x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.

答案

证明见解析.

本小题考查函数单调性的概念,不等式的证明,以及逻辑推理能力.满分10分.

证法一:在(-∞,+∞)上任取x1x2x1<x2                           ——1分

f (x2) -f (x1) == (x1x2) ()                    ——3分

x1<x2,∴ x1-x2<0.                                           ——4分

x1x2<0时,有= (x1+x2) 2x1x2>0;                     ——6分

x1x2≥0时,有>0;

f (x2)-f (x1)= (x1x2)()<0.                         ——8分

即 f (x2) < f (x1),所以,函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.     ——10分

证法二:在(-∞,+∞)上任取x1x2,且x1<x2,                      ——1分

f (x2)-f (x1)=xx= (x1-x2) ().                  ——3分

x1<x2,∴x1-x2<0.                                          ——4分

x1x2不同时为零,∴xx>0.

又∵xx>(xx)≥|x1x2|≥-x1x2>0,

∴ f (x2)-f (x1) = (x1-x2) ()<0.                     ——8分

f (x2) < f (x1).所以,函数f (x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.       ——10分

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