问题 解答题

已知圆方程x2+y2-2ax-4ay+5a2-4=0(a∈R).

(1)求圆的半径,圆心坐标并求出圆心坐标所满足的直线方程;

(2)试问:是否存在直线l,使对任意a∈R,直线l被圆截得的弦长均为2,若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.

答案

(1)根据题意可得圆的方程为(x-a)2+(y-2a)2=4,

所以半径为2,圆心坐标为(a,2a),

所以圆心坐标满足的直线方程为y=2x.

(2)因为圆心在直线y=2x上,并且对任意a∈R,直线l被圆截得的弦长均为2,

所以所求直线必须平行于直线y=2x,

所以设所求直线的方程为y=2x+b,

因为该直线被圆截得的弦长均为2,并且半弦长、半径与弦心距的关系为(

AB
2
)2+d2=r2

所以d=

3

所以圆心(a,2a)到该直线的距离为

3
,则
|2a-2a+b|
5
=
3

解的b=±

15

所以直线方程为y=2x±

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