问题
解答题
已知圆方程x2+y2-2ax-4ay+5a2-4=0(a∈R).
(1)求圆的半径,圆心坐标并求出圆心坐标所满足的直线方程;
(2)试问:是否存在直线l,使对任意a∈R,直线l被圆截得的弦长均为2,若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
答案
(1)根据题意可得圆的方程为(x-a)2+(y-2a)2=4,
所以半径为2,圆心坐标为(a,2a),
所以圆心坐标满足的直线方程为y=2x.
(2)因为圆心在直线y=2x上,并且对任意a∈R,直线l被圆截得的弦长均为2,
所以所求直线必须平行于直线y=2x,
所以设所求直线的方程为y=2x+b,
因为该直线被圆截得的弦长均为2,并且半弦长、半径与弦心距的关系为(
)2+d2=r2,AB 2
所以d=
,3
所以圆心(a,2a)到该直线的距离为
,则3
=|2a-2a+b| 5
,3
解的b=±
,15
所以直线方程为y=2x±
.15