问题
解答题
在平面直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x-
（Ⅰ）求圆O的方程； （Ⅱ）圆O与x轴相交于A，B两点，圆O内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求
（Ⅲ）已知D，E，F是圆O上任意三点，动点M满足
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答案
（Ⅰ）依题意，圆O的半径r等于原点O到直线x-
y=4的距离，3
即r=
=2，∴圆O的方程为x2+y2=4．4 1+3
（Ⅱ）不妨设A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，令y=0得x2=4，
∴A（-2，0），B（2，0），
设P（x，y），由|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，即：
×(x+2)2+y2
=x2+y2，(x-2)2+y2
化简得：x2-y2=2，
•PA
=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x2-4+y2，PB
∵x2-y2=2
∴
•PA
=2y2-2，PB
由于点P在圆O内，故
，由此得y2＜1．x2+y2＜4 x2-y2=2
∴-2≤
•PA
=2y2-2＜0，PB
∴
•PA
的取值范围是[-2，0）；PB
（Ⅲ）设DE的中点为N，则
•OD
=2OE
，ON
∴
=λOM
+λOD
+（1-2λ）OE
，λ∈R，OF
=2λ（OM
-ON
）+OF OF
∴
-OM
=2λ（OF
-ON
），OF
∴
=2λFM
，FN
∴F，N，M三点共线，
即点M的轨迹是△DEF的中线FN所在的直线，
故点M的轨迹一定经过△DEF的重心．
