（Ⅰ）由双曲线E：

x2

24

-

y2

12

=1，得l：x=-4，C（-4，0），F（-6，0）．…（2分）

又圆C过原点，所以圆C的方程为（x+4）²+y²=16．   …（4分）

（Ⅱ）由题意，设G（-5，y_G），代入（x+4）²+y²=16，得yG=±

15

，…（5分）

所以FG的斜率为k=±

15

，FG的方程为y=±

15

(x+6)．…（6分）

所以C（-4，0）到FG的距离为d=

15

2

，…（7分）

直线FG被圆C截得的弦长为2

16-( 15 2 )2

=7…（9分）

（Ⅲ）设P（s，t），G（x₀，y₀），则由

|GF|

|GP|

=

1

2

，得

(x0+6)2+ y 20

(x0-s)2+(y0-t)2

1

2

整理得3（x₀²+y₀²）+（48+2s）x₀+2ty₀+144-s²-t²=0．①…（11分）

又G（x₀，y₀）在圆C：（x+4）²+y²=16上，所以x₀²+y₀²+8x₀=0   ②

②代入①，得（2s+24）x₀+2ty₀+144-s²-t²=0．…（13分）

又由G（x₀，y₀）为圆C上任意一点可知，

2s+24=0 2t=0 144-s2-t2=0

…（14分）

解得：s=-12，t=0．…（15分）

所以在平面上存在一定点P，其坐标为（-12，0）．  …（16分）