问题
解答题
已知函数f(x)=
（1）写出此函数的定义域和值域； （2）证明函数在（0，+∞）为单调递减函数； （3）试判断并证明函数y=（x-3）f（x）的奇偶性． |
答案
（1）函数f（x）的定义域为{x|x≠0}．
f(x)=1+
，∴值域为{y|y≠1}．3 x
（2）证明：设0＜x1＜x2，
则：f(x2)-f(x1)=(1+
)-(1+3 x2
)=3 x1
-3 x2
=3 x1
，3(x1-x2) x1•x2
∵0＜x1＜x2，∴x1•x2＞0，x1-x2＜0，
∴f（x2）-f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1），
∴函数在（0，+∞）上为单调递减函数．
（3）函数定义域关于原点对称，
设g(x)=(x-3)f(x)=
，x2-9 x
∵g(-x)=
=-g(x)，x2-9 -x
∴此函数为奇函数．