问题
解答题
函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x＞0时，f(x)＞1.
（1）求证：f(x)是R上的增函数；
（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)＜3.
答案
（1）证明见解析（2）解集为（-1, 
）
（1）设x1,x2∈R，且x1＜x2,
则x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1. 2分
f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)
=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1＞0. 5分
∴f（x2）＞f(x1).
即f(x)是R上的增函数. 7分
（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，
∴f（2）=3， 10分
∴原不等式可化为f(3m2-m-2)＜f(2),
∵f(x)是R上的增函数，∴3m2-m-2＜2, 12分
解得-1＜m＜,故解集为（-1, ）. 14分