D。

A、对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，故本选项错误；

B、对角线相等的梯形才是等腰梯形，故本选项错误；

C、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，故本选项错误；

D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故本选项正确。

故选D。