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探究某种笔的弹跳问题时，把笔分为轻质弹簧、内芯和外壳三部分，其中内芯和外壳质量分别为m和4m.笔的弹跳过程分为三个阶段：

①把笔竖直倒立于水平硬桌面，下压外壳使其下端接触桌面（见题24图a）；

②由静止释放，外壳竖直上升至下端距桌面高度为h₁时，与静止的内芯碰撞（见题24图b）；

③碰后，内芯与外壳以共同的速度一起上升到外壳下端距桌面最大高度为h₂处（见题24图c）。

设内芯与外壳的撞击力远大于笔所受重力、不计摩擦与空气阻力，重力加速度为g。求：

（1）外壳与内芯碰撞后瞬间的共同速度大小；

（2）从外壳离开桌面到碰撞前瞬间，弹簧做的功；

（3）从外壳下端离开桌面到上升至h₂处，笔损失的机械能。