案例：某教师在对根与系数关系综合运用教学时，给学生出了如下一道练习题：

设α、β是方程x²-2kx+k+6=0的两个实根，则（α-1）²+（β-1）²的最小值是（）。

A.

B.8

C.18

D.不存在

某学生的解答过程如下：

利用一元二次方程根与系数的关系易得：α+β=2k，αβ=k+6

所以。故选A。

问题：（1）指出该生解题过程中的错误，分析其错误原因；

（2）给出你的正确解答；

（3）指出你在解题时运用的数学思想方法。