问题
解答题
已知函数f（x）=（x+2）ln（x+1）-ax2-x（a∈R）,g（x）=ln（x+1）.
(1)若a=0，F(x)=f(x)-g(x),求函数F（x）的极值点及相应的极值.
(2)若对于任意x2>0，存在x1满足x1<x2且g(x1)=f(x2)成立，求a的取值范围.
答案
(1)
只有一个极小值点
，极小值为0. (2)
题目分析：(1)首先求出F（x）的表达式，然后求导
，根据单数的性质，求出原函数的单调区间，即可求出函数F（x）的极值点及相应的极值.
(2) 设
，依题意即求
在
上存在零点时
的取值范围.即只需要
在
上恒成立.即
,在上恒成立.然后分
，
，
，，根据导数的性质分别求使在上成立的a的取值范围，最后求并集.
试题解析：(1)
,
,
为减函数;
为增函数,
所以只有一个极小值点，极小值为0. 4分
(2) 设
依题意即求在上存在零点时的取值范围.
又当
时，
，且在定义域内单调递增，
所以只需要在上恒成立.
即
，在上恒成立.
即,在上恒成立. 7分
若，显然不成立,因为由第一问知
在
为增函数，
故
,即
在恒成立,
不妨设
，
，
, 9分
若,则
，若
，
,所以
为增函数，
（不合题意）,
若，若
，,为增函数，（不合题意）,
若，若
,
，为减函数,
（符合题意）,
综上所述,若时,
恒成立,
则. 12分