问题 解答题

已知函数f(x)=ex-ex(x∈R且e为自然对数的底数).

(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性;

(2)是否存在实数t,使不等式f(xt)+f(x2t2)≥0对一切x都成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由.

答案

(1)奇函数.增函数(2)存在实数t=-

(1)∵f(x)=exx,且y=ex是增函数,y=-x是增函数,所以f(x)是增函数.由于f(x)的定义域为R,且f(-x)=ex-ex=-f(x),所以f(x)是奇函数.

(2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数,∴f(xt)+f(x2t2)≥0对一切x∈R恒成立

f(x2t2)≥f(tx)对一切x∈R恒成立

x2t2tx对一切x∈R恒成立

t2tx2x对一切x∈R恒成立

2对一切x∈R恒成立

2≤0⇔t=-.

即存在实数t=-,使不等式f(xt)+f(x2t2)≥0对一切x都成立.

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