已知椭圆的中心为O，长轴、短轴的长分别为2a,2b(a>b>0),A,B分别为椭

问题解答题

已知椭圆的中心为O，长轴、短轴的长分别为2a,2b(a>b>0),A,B分别为椭圆上的两点，且OA⊥OB，过O点作OM⊥AB交AB于点M，求点M的轨迹。

答案

点M的轨迹是以O为圆心，为半径的圆。

以O点为坐标原点，长轴所在直线为x轴，短轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则椭圆的方程为。

以O点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为。

由于OA⊥OB，可设A(r₁,q₁),,则，

，

所以，

故。

因为OM⊥AB,由等面积得|OM|·|AB|=|OA|·|OB|，

从而|OM|²·|AB|²=|OA|²·|OB|^2,，且|AB|²=|OA|²+|OB|^2,

即，所以,

故点M的轨迹是以O为圆心，为半径的圆。