问题 解答题

已知:△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,第三边BC的长为5.试问:k取何值时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形?

答案

设边AB=a,AC=b

∵a、b是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两根

∴a+b=2k+3,a•b=k2+3k+2

又∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形,且BC=5

∴a2+b2=52

即(a+b)2-2ab=52

∴(2k+3)2-2(k2+3k+2)=25

∴k2+3k-10=0

∴k1=-5或k2=2

当k=-5时,方程为:x2+7x+12=0

解得:x1=-3,x2=-4(舍去)

当k=2时,方程为:x2-7x+12=0

解得:x1=3,x2=4

∴当k=2时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形.

选择题
单项选择题