问题
解答题
已知:△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,第三边BC的长为5.试问:k取何值时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形?
答案
设边AB=a,AC=b
∵a、b是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两根
∴a+b=2k+3,a•b=k2+3k+2
又∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形,且BC=5
∴a2+b2=52,
即(a+b)2-2ab=52,
∴(2k+3)2-2(k2+3k+2)=25
∴k2+3k-10=0
∴k1=-5或k2=2
当k=-5时,方程为:x2+7x+12=0
解得:x1=-3,x2=-4(舍去)
当k=2时,方程为:x2-7x+12=0
解得:x1=3,x2=4
∴当k=2时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形.