问题 解答题
已知函数f(x)=sin2x+2
3
sinxcosx+3cos2x,x∈R.求:
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间[-
π
6
π
3
]
上的值域.
答案

( I):f(x)=

1-cos2x
2
+
3
sin2x+
3(1+cos2x)
2
=2+
3
sin2x+cos2x
=2sin(2x+
π
6
)+2
…(4分)

∴最小正周期T=

2
=π,…(5分)

-

π
2
+2kπ≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
,k∈Z时f(x)为单调递增函数

∴f(x)的单调递增区间为[kπ-

π
3
,kπ+
π
6
],k∈Z…(8分)

( II)∵f(x)=2+2sin(2x+

π
6
),由题意得:-
π
6
≤x≤
π
3

2x+

π
6
∈[-
π
6
6
],

sin(2x+

π
6
)∈[-
1
2
,1],

∴f(x)∈[1,4]

∴f(x)值域为[1,4]…(13分)

单项选择题
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