问题 解答题
已知n条直线l1:x-y+C1=0,C1=
2
,l2:x-y+C2=0,l3:x-y+C3=0,…,ln:x-y+Cn=0(其中C1<C2<C3<…<Cn),这n条平行直线中,每相邻两条直线之间的距离顺次为2、3、4、…、n.
(1)求Cn
(2)求x-y+Cn=0与x轴、y轴围成的图形的面积;
(3)求x-y+Cn-1=0与x-y+Cn=0及x轴、y轴围成图形的面积.
答案

(1)原点O到l1的距离为1,原点O到l2的距离为1+2,原点O到ln的距离dn为1+2++n=

n(n+1)
2

∵Cn=

2
dn

∴Cn=

2
n(n+1)
2

(2)设直线ln:x-y+Cn=0交x轴于M,交y轴于N,则△OMN面积

S△OMN=

1
2
|OM|•|ON|=
1
2
Cn2=
n2(n+1)2
4

(3)所围成的图形是等腰梯形,由(2)知Sn=

n2(n+1)2
4
,则有Sn-1=
(n-1)2n2
4

∴Sn-Sn-1=

n2(n+1)2
4
-
(n-1)2n2
4
=n3

∴所求面积为n3

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