设圆心为（a，

3

a

），a＞0，

圆心到直线的最短距离为：

|3a+4× 3 a |+3

9+16

=

1

5

|3a+

12

a

+3|=r

∴|3a+

12

a

+3|=5r

∵a＞0，

∴3a+

12

a

+3=5r

欲求面积最小的圆的方程，即求r最小时a和r的值，

5r=3a+

12

a

+3≥2

3a• 12 a

+3=15

∴r≥3，当3a=

12

a

，即a=2时，取等号，

∴面积最小的圆的半径r=3，圆心为（2，

3

2

）

所以面积最小的圆的方程为：（x-2）²+（y-

3

2

）²=9