已知函数f（x）=mx2+（m-3）x+1的图象与x轴公共点至少有一个在原

问题解答题

已知函数f（x）=mx²+（m-3）x+1的图象与x轴公共点至少有一个在原点右侧．
（1）求实数m的取值范围；
（2）令t=2-m，求[

]的值；（其中[t]表示不超过t的最大整数，例如：[1]=1，[2.6]=2，[-2.6]=-3）
（3）对（2）中的t，求函数g(t)=

4[t]2+1

4[t]+[

]

的最小值．

答案

（1）当m=0时，f（x）=-3x+1，则-3x+1=0，

得x=

符合题意…（1分）

当m＜0时，∵f（0）=1，方程f（x）=0有一正一负两个根，符合题意…（2分）

当m＞0，则

△≥0

m-3

＞0

…（2分）⇒

(m-3)2-4m≥0

m＜3

∴0＜m≤1…（2分）

综上，得m≤1…（1分）

（2）∵m≤1∴t=2-m≥1…（1分）

若t=1，则[

]=1…（1分）

若t＞1，则[

]=0…（1分）

∴[

1(t=1)

0(t＞1)

…（1分）

（3）若t=1，则[t]=1，g(t)=

4+1

=1…（1分）

若t＞1，则[

]=0，设[t]=n(n≥1，n∈N)…（1分）

g(t)=

4n2+1

=n+

在[1，+∞)上递增…（2分）

∴g(t)∈[

，+∞)…（1分）

∴g（t）的最小值是1．…（1分）