问题
解答题
在△ABC中，两个定点A（-3，0）B（3，0），△ABC的垂心H（三角形三条高线的交点）是AB边上高线CD的中点．
（1）求动点C的轨迹方程；
（2）斜率为2的直线l交动点C的轨迹于P、Q两点，求△OPQ面积的最大值（O是坐标原点）．
答案
（1）设动点C（x，y）则D（x，0）．因为H是CD的中点，故H(x，
)y 2
因为AH⊥BC所以kAH•kBC=-1故
•y 2 x+3
=-1y x-3
整理得动点C的轨迹方程
+x2 9
=1(y≠0)y2 18
（2）设l：y=2x+m并代入
+x2 9
=1(y≠0)得6x2+4mx+m2-18=0，y2 18
∵△=（4m）2-4×6×（m2-18）＞0
∴54-m2＞0
即m∈(-3
，36
)，6
|PQ|=
=(1+22)[(-
)2-4•4m 6
]m2-18 6 10 3 54-m2
又原点O到直线l的距离为d=|m| 5
∴S△OPQ=
×1 2
×10 3
×54-m2
=|m| 5 2 6
≤(54-m2)m2
×2 6
=54-m2+m2 2 9 2 2
当且仅当54-m2=m2即m=±3
时等号成立，3
故△OPQ面积的最大值为
．9 2 2