问题
解答题
已知定义在R上的函数f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0，a＞0，b＞0）的周期为π，f(
（1）写出f（x）的表达式； （2）写出函数f（x）的单调递增区间、对称中心、对称轴方程； （3）说明f（x）的图象如何由函数y=2sinx的图象经过怎样的变换得到． |
答案
（1）f（x）=asinωx+bcosωx=
sin（ωx+∅），其中φ为辅助角，且tanφ=a2+b2
，b a
∴T=
=π，∴ω=22π w
∵f(
)=π 4
，∴asin3
+bcosπ 2
=π 2
，即a=3 3
∵f（x）的最大值为2，∴
=2，解得，b=1a2+b2
∴f(x)=
sin2x+cos2x3
（2）由（1）得，f(x)=
sin2x+cos2x=2sin（2x+3
）π 6
令-
+2kπ ≤2x+π 2
≤π 6
+2kπ，k∈Z，解得，kπ-π 2
≤x≤kπ+π 3
，k∈Zπ 6
∴函数的单调递增区间[kπ-
，kπ+π 3
]，k∈Z；π 6
令2x+
=kπ，k∈Z，解得，x=π 6
-kπ 2
，k∈Zπ 12
∴函数的对称中心为(
-kπ 2
，0)，k∈Z；π 12
令2x+
=kπ+π 6
，k∈Z，解得，x=π 2
+kπ 2
，k∈Zπ 6
对称轴方程为x=
+kπ 2
，k∈Zπ 6
（3）f(x)=
sin2x+cos2x的图象可先由函数y=2sinx的图象向左平移3
个单位，得到函数y=2sin(x+π 6
)的图象，再将y=2sin(x+π 6
)图象的横坐标缩小到原来的π 6
，即得f(x)=1 2
sin2x+cos2x的图象．3