问题 问答题

(Ⅰ)证明罗尔定理,若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,f(a)=f(b)则

,使得f’(ξ)=0.
(Ⅱ)证明:若在区间I上f(n)(x)≠0,则函数f(x)在区间I上最多n个零点.

答案

参考答案:(Ⅰ)由于f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有最大值M和最小值m.
i)若M=m,则[*],结论显然成立.
ii)若M≠m,由于f(a)=f(b),则f(x)在[a,b]上的最大值M和最小值m至少有一个在(a,b)内取得,不妨设最大值在x=ξ(ξ∈(a,b))处取到,由费马引理知f’(ξ)=0.
(Ⅱ)反证法:若f(x)在区间I上的零点不止n个,则至少应有n+1个,不妨设为x1<x2<x3<…<xn+1,在区间[xi,xi+1](i=1,2,…,n)上分别用罗尔定理得,存在ξi∈(xi,xi+1)(i=1,2,…,n),使f’(ξi)一0,即f(x)在I上至少有n个零点,在f’(x)的相邻两个零点之间对f’(x)用罗尔定理得f"(x)在区间I上至少有n-1个零点,以此类推,f(n)(x)在I上至少有一个零点,与题设矛盾,故原题得证.

解析:[评注] 本题(Ⅱ)中所证的结论可看作罗尔定理的推论,这个推论在讨论方程根的个数时是一个常用的结论.

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