问题 填空题

已知点D与点A(8,0),B(0,6),C(a,-a)是一平行四边形的四个顶点,则CD长的最小值为______.

答案

有两种情况:

①CD是平行四边形的一条边,那么有AB=CD=

62+82
=10

②CD是平行四边形的一条对角线,

过C作CM⊥AO于M,过D作DF⊥AO于F,交AC于Q,过B作BN⊥DF于N,

则∠BND=∠DFA═∠CMA=∠QFA=90°,

∠CAM+∠FQA=90°,∠BDN+∠DBN=90°,

∵四边形ACBD是平行四边形,

∴BD=AC,∠C=∠D,BDAC,

∴∠BDF=∠FQA,

∴∠DBN=∠CAM,

∵在△DBN和△CAM中

∠BND=∠AMC
∠DBN=∠CAM
BD=AC

∴△DBN≌△CAM(AAS),

∴DN=CM=a,BN=AM=8-a,

D((8-a,6+a),

由勾股定理得:CD2=(8-a-a)2+(6+a+a)2=8a2-8a+100=8(a-

1
2
2+98,

当a=

1
2
时,CD有最小值,是
98

98
<10,

∴CD的最小值是

98
=7
2

解法二:

CD是平行四边形的一条对角线

设CD、AB交于点E,

∵点E为AB的中点,

∴E(

8+0
2
0+6
2
),即E(4,3)

∵CE=DE,

∴当DE取得最小值时,CE自然为最小,

∵C(a,-a),

∴C点可以看成在直线y=-x上的一点,

∴CE最小值为点E到直线的距离,即CE⊥直线y=-x,

根据两直线垂直,斜率乘积为-1,

∴CE所在直线为y=x+b,代入E(4,3),可得y=x-1,

∴C点坐标为两直线交点:

y=-x
y=x-1
,即:(
1
2
,-
1
2

∴CE为:

(
1
2
+3)2+(4-
1
2
)2
=
7
2
2

∴CD=7

2

故答案为:7

2

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