问题 解答题
已知函数f(x)=2
3
sinxcosx+2sin2x-1,x∈R

(I)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(II)将函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的
1
2
,再把所得到的图象向左平移
π
6
个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在区间[-
π
6
π
12
]
上的值域.
答案

(I)∵f(x)=2

3
sinxcosx+2sin2x-1=
3
sin2x-cos2x=2sin(2x-
π
6
),

∴函数f(x)的最小正周期为T=π;

由-

π
2
+2kπ≤2x-
π
6
π
2
+2kπ,k∈Z,

解得:-

π
6
+kπ≤≤
π
3
+kπ,k∈Z,

则f(x)的单调递增区间为[-

π
6
+kπ,
π
3
+kπ],k∈Z;

(II)函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的

1
2

得到y=2sin(4x-

π
6
),

再把所得的图象向左平移

π
6
个单位得到g(x)=2cos4x,

当x∈[-

π
6
π
12
]时,4x∈[-
3
π
3
],

∴当x=0时,g(x)max=2;当x=-

π
6
时,g(x)min=-1,

∴y=g(x)在区间[-

π
6
π
12
]上的值域为[-1,2].

单项选择题
单项选择题