在平面直角坐标系中,已知点A (
(Ⅰ)求动点M的轨迹E的方程; (Ⅱ)设点P是轨迹E上的动点,点R,N在y轴上,圆C:(x-1)2+y2=1内切于△PRN,求△PRN的面积的最小值. |
(Ⅰ)设点M的坐标为(x,y),由题设知,|MB|=|MA|.
所以动点M的轨迹E是以A (
, 0 )为焦点,1 2
l:x=-
为准线的抛物线,其方程为y2=2x;1 2
(Ⅱ)设P(x0,y0),R(0,b),N(0,c),且b>c,
故直线PR的方程为(y0-b)x-x0y+x0b=0.
由题设知,圆心(1,0)到直线PR的距离为1,
即
=1.| y0-b+x0b | ( y0-b )2+x02
注意到x0>2,化简上式,得(x0-2)b2+2y0b-x0=0,
同理可得(x0-2)c2+2y0c-x0=0.
由上可知,b,c为方程(x0-2)x2+2y0x-x0=0的两根,
根据求根公式,可得b-c=
=4
+4x 20
-8x0y 20 x0-2
.2x0 x0-2
故△PRN的面积为
S=
( b-c )x0=1 2
=( x0-2 )+x 20 x0-2
+4≥24 x0-2
+4=8,( x0-2 )• 4 x0-2
等号当且仅当x0=4时成立.此时点P的坐标为( 4 , 2
)或( 4 , -22
).2
综上所述,当点P的坐标为( 4 , 2
)或( 4 , -22
)时,△PRN的面积取最小值8.2