问题 解答题
在平面直角坐标系中,已知点A ( 
1
2
 , 0 )
,点B在直线l:x=-
1
2
上运动,过点B与l垂直的直线和AB的中垂线相交于点M.
(Ⅰ)求动点M的轨迹E的方程;
(Ⅱ)设点P是轨迹E上的动点,点R,N在y轴上,圆C:(x-1)2+y2=1内切于△PRN,求△PRN的面积的最小值.
答案

(Ⅰ)设点M的坐标为(x,y),由题设知,|MB|=|MA|.

所以动点M的轨迹E是以A ( 

1
2
 , 0 )为焦点,

l:x=-

1
2
为准线的抛物线,其方程为y2=2x;

(Ⅱ)设P(x0,y0),R(0,b),N(0,c),且b>c,

故直线PR的方程为(y0-b)x-x0y+x0b=0.

由题设知,圆心(1,0)到直线PR的距离为1,

y0-b+x0b |
y0-b )2+x02
=1.

注意到x0>2,化简上式,得(x0-2)b2+2y0b-x0=0,

同理可得(x0-2)c2+2y0c-x0=0.

由上可知,b,c为方程(x0-2)x2+2y0x-x0=0的两根,

根据求根公式,可得b-c=

4
x20
+4
y20
-8x0
x0-2
=
2x0
x0-2

故△PRN的面积为

S=

1
2
( b-c )x0=
x20
x0-2
=( x0-2 )+
4
x0-2
+4≥2
x0-2 )•
4
x0-2
+4=8,

等号当且仅当x0=4时成立.此时点P的坐标为( 4 , 2

2
 )或( 4 , -2
2
 )

综上所述,当点P的坐标为( 4 , 2

2
 )或( 4 , -2
2
 )
时,△PRN的面积取最小值8.

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