（1）双曲线

x2

16

-

y2

9

=1的左、右焦点为F₁（-5，0），F₂（5，0）．…（1分）

设点M（x，y），则

MF1

MF2

=

2

3

，即

(x+5)2+y2

(x-5)2+y2

=

2

3

．     …（3分）

化简得点M的轨迹方程为x²+y²+26x+25=0．        …（7分）

（2）点M的轨迹方程即为（x+13）²+y²=144，它表示以（-13，0）为圆心，12为半径的圆．       …（9分）

因为圆上有且仅有三点到直线y=x+m的距离为4，

所以圆心到直线y=x+m的距离为8，即

|-13+m|

1+1

=8．  …（12分）

解得 m=13±8

2

．                                 …（14分）