问题
解答题
已知动点M到定直线l:x=-
(I)求动点M的轨迹C的方程; (II)设A(a,0)(a∈R),求曲线C上点P到点A距离的最小值d(a) |
答案
(1)设动点M的坐标为(x,y),
由已知条件可知,点M与定点(
,0)的距离等于它到直线x=-1 2
的距离.1 2
根据抛物线的定义,点M的轨迹是以定点(
,0)为焦点的抛物线.1 2
因为
=p 2
,所以p=1.即点M的轨迹方程为y2=2x;1 2
(2)设抛物线上的点P(
,y),y∈R.则y2 2
|PA|2=(
-a)2+(y-0)2,整理得:y2 2
|PA|2=
+(1-a)y2+a2.y4 4
令y2=t≥0,有:|PA|2=
+(1-a)t+a2,(t≥0)t2 4
关于t的二次函数的对称轴为:t0=2(a-1).对对称轴位置作分类讨论如下:
①2(a-1)≤0时,a≤1,即t=1时,|PA|min2=a2,d(a)=|a|;
②2(a-1)>0时,a>1,即t=2(a-1)时,|PA|min2=2a-1,d(a)=
.2a-1
所以d(a)=
.|a|,a≤1
,a>12a-1