问题 解答题
已知动点M到定直线l:x=-
3
2
的距离比到定点(
1
2
,0)的距离多1,
(I)求动点M的轨迹C的方程;
(II)设A(a,0)(a∈R),求曲线C上点P到点A距离的最小值d(a)
答案

(1)设动点M的坐标为(x,y),

由已知条件可知,点M与定点(

1
2
,0)的距离等于它到直线x=-
1
2
的距离.

根据抛物线的定义,点M的轨迹是以定点(

1
2
,0)为焦点的抛物线.

因为

p
2
=
1
2
,所以p=1.即点M的轨迹方程为y2=2x;

(2)设抛物线上的点P(

y2
2
,y),y∈R.则

|PA|2=(

y2
2
-a)2+(y-0)2,整理得:

|PA|2=

y4
4
+(1-a)y2+a2

令y2=t≥0,有:|PA|2=

t2
4
+(1-a)t+a2,(t≥0)

关于t的二次函数的对称轴为:t0=2(a-1).对对称轴位置作分类讨论如下:

①2(a-1)≤0时,a≤1,即t=1时,|PA|min2=a2,d(a)=|a|;

②2(a-1)>0时,a>1,即t=2(a-1)时,|PA|min2=2a-1,d(a)=

2a-1

所以d(a)=

|a|,a≤1
2a-1
,a>1

单项选择题
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