问题
解答题
| 已知点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2≠0）是抛物线y2=2px（p＞0）上的两个动点，O是坐标原点，且OA⊥OB，设圆C的方程为x2+y2-（x1+x2）x-（y1+y2）y=0． （1）证明：圆C是以线段AB为直径的圆； （2）当圆心C到直线x-2y=0的距离的最小值为
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答案
（1）证明：因为OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0①
设点M（x，y）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则
•MA
=0MB
即（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0
展开上式并将 ①代入得x2+y2-（x1+x2）x-（y1+y2）y=0
故圆C是以线段AB为直径的圆；
（2）设圆C的圆心为C（x，y），
则x=
，y=x1+x2 2 y1+y2 2
∵y12=2px1，y22=2px2（p＞0），
∴x1x2=y12y22 4p2
又∵x1x2+y1y2=0
∴x1x2=-y1y2
∴-y1y2=y12y22 4p2
∴y1y2=-4p2
∴x=
=x1+x2 2
（y12+y22）1 4p
=
（y12+y22+2y1y2）-1 4p y1y2 2p
=
（y2+2p2）1 p
∴圆心的轨迹方程为：y2=px-2p2
设圆心C到直线x-2y=0的距离为d，则d=
=|x-2y| 5
≥|(y-p)2+p2|
p5 p 5
∴当y=p时，d有最小值p 5
∴
=p 5 5
∴p=5．