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问题 解答题
已知函数f(x)=2
3
sin(ωx+
π
3
)(ω＞0)．
（1）若y=f(x+θ)(0＜θ＜
π
2
)是最小正周期为π的偶函数，求ω和θ的值；
（2）若g（x）=f（3x）在(0，
π
3
)上是增函数，求ω的最大值；并求此时f（x）在[0，π]上的取值范围．
答案

（1）∵f（x）=2

3
sin（ωx+
π
3
）（0＜θ＜
π
2
），

∴f（x+θ）=2

3
sin（ωx+ωθ+
π
3
）（0＜θ＜
π
2
），

又f（x+θ）是最小正周期为π的偶函数，

∴ω=2，

∴2θ+

π
3
=kπ+
π
2
，（k∈Z），又0＜θ＜
π
2
，

∴

π
3
＜2θ+
π
3
＜
4π
3
．

∴k=0，θ=

π
12
．

（2）∵g（x）=f（3x）=2

3
sin（3ωx+
π
3
）在（0，
π
3
）上是增函数，

∴由2kπ-

π
2
≤3ωx+
π
3
≤2kπ+
π
2
（k∈Z），ω＞0得：

2kπ-
5π
6
3ω
≤x≤
2kπ+
π
6
3ω
（k∈Z），

∵f（3x）=2

3
sin（3ωx+
π
3
）在（0，
π
3
）上是增函数，

∴

π
3
≤
π
6
3ω
，

∴0＜ω≤

1
6
．

∴ωmax=

1
6
．

当ω=

1
6
时，f（x）=2
3
sin（
1
6
x+
π
3
）．

∵x∈[0，π]，

∴

1
6
x+
π
3
∈[
π
3
，
π
2
]，

∴

3
2
≤sin（
1
6
x+
π
3
）≤1．

∴3≤2

3
sin（
1
6
x+
π
3
）≤2
3
．

∴当x∈[0，π]，f（x）=2

3
sin（
1
6
x+
π
3
）∈[3，2
3
]．

填空题

酒店的平面镜前停放着一辆汽车，车顶上字牌上的字在平面镜中的像是IXAT，则这车车顶上字牌上的字实际是______．
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选择题

May I have a look?[ ]

A. Yes, it is.

B. Sure!
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