（1）由题意得

a=2b 2 a2 + 1 2 b2 =1

解得a²=4，b²=1，

∴椭圆E方程为：

x2

4

+y2=1．

直线l的方程为y=kx+2，其一个法向量

n

=(k，-1)，设点B的坐标为B（x₀，y₀），由

AB

=(x0，y0-2)及|

n

•

AB

|=|

n

|得|kx0-y0+2|=

1+k2

，

∴B（x₀，y₀）到直线y=kx+2的距离为d=

|kx0-y0+2|

1+k2

=1．

（2）由（1）知，点B是椭圆E上到直线l的距离为1的点，即与直线l的距离为1的二条平行线与椭圆E恰好有三个交点．

设与直线l平行的直线方程为y=kx+t

由

y=kx+t x2 4 +y2=1

得x²+4（kx+t）²=4，即（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0△=64k²t²-4（1+4k²）（4t²-4）=16（1+4k²-t²）①

当△=0时，k2=

t2-1

4

②

又由两平行线间的距离为1，可得

|t-2|

1+k2

=1③

把②代入③得(t-2)2=1+

t2-1

4

，即3t²-16t+13=0，（3t-13）（t-1）=0

解得t=1，或t=

13

3

当t=1时，代入②得k=0，与已知k＞0不符，不合题意；

当t=

13

3

时，代入②得k=

2 10

3

，代回③得t=

13

3

或t=

1

3

当k=

2 10

3

，t=

1

3

时，由①知△＞0

此时两平行线y=

2 10

3

x+

13

3

和y=

2 10

3

x+

1

3

，与椭圆E有三个交点，

∴k=

2 10

3

．