问题
解答题
已知函数f(x)=cos(x-
（1）写出函数g（x）的解析式； （2）已知f(α)=
（3）设g1（x），g2（x）是定义域为R的两个函数，满足g2（x）=g1（x+θ），其中θ是常数，且θ∈[0，π]．请设计一个函数y=g1（x），给出一个相应的θ值，使得g（x）=g1（x）•g2（x）．并予以证明． |
答案
（1）g（x）=cos2x．…（2分）
（2）因为α-
∈(π 4
，π 4
)，cos(α-5π 4
)=π 4
＞0，所以α-3 5
∈(π 4
，π 4
)，π 2
所以sin(α-
)=π 4
，…（4分）cos(2α-4 5
)=2cos2(α-π 2
)-1=-π 4
，则sin2α=-7 25
，…（5分）sin(2α-7 25
)=2sin(α-π 2
)cos(α-π 4
)=π 4
，则cos2α=-24 25
，…（6分）24 25
所以f(2α)=cos(2α-
)=cos2αcosπ 4
+sin2αsinπ 4
=-π 4 31 50
．…（7分）2
（3）令g1（x）=cosx+sinx，θ=
，…（9分）π 2
则g1（x）•g2（x）=（cosx+sinx）（-sinx+cosx）=cos2x-sin2x=cos2x…（10分）
（注：令g1(x)=
cos(x-2
)，θ=π 4
；g1(x)=1+π 2
sinx，θ=π等相应给分．）（只构造不证明本小问不得分．）2