问题 解答题

已知坐标平面上点M(x,y)与两个定点M1(26,1),M2(2,1)的距离之比等于5.

(1)求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;

(2)记(1)中的轨迹为C,过点A(-2,3)的直线l被C所截得的线段的长为8,求直线l的方程.

答案

(1)由题意坐标平面上点M(x,y)与两个定点M1(26,1),M2(2,1)的距离之比等于5,

|M1M|
|M2M|
=5.
(x-26)2+(y-1)2
(x-2)2+(y-1)2
=5
,化简得x2+y2-2x-2y-23=0.

即(x-1)2+(y-1)2=25.

∴点M的轨迹方程是(x-1)2+(y-1)2=25,

所求轨迹是以(1,1)为圆心,以5为半径的圆.

(2)当直线l的斜率不存在时,过点A(-2,3)的直线l:x=-2,

此时过点A(-2,3)的直线l被圆所截得的线段的长为:2

52-32
=8,

∴l:x=-2符合题意.

当直线l的斜率存在时,设过点A(-2,3)的直线l的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,

圆心到l的距离d=

|3k+2|
k2+1

由题意,得(

|3k+2|
k2+1
)2+42=52,解得k=
5
12
.∴直线l的方程为
5
12
x-y+
23
6
=0.即5x-12y+46=0.

综上,直线l的方程为x=-2,或5x-12y+46=0.

判断题
单项选择题 A1/A2型题