问题
解答题
已知坐标平面上点M(x,y)与两个定点M1(26,1),M2(2,1)的距离之比等于5.
(1)求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;
(2)记(1)中的轨迹为C,过点A(-2,3)的直线l被C所截得的线段的长为8,求直线l的方程.
答案
(1)由题意坐标平面上点M(x,y)与两个定点M1(26,1),M2(2,1)的距离之比等于5,
得
=5.|M1M| |M2M|
=5,化简得x2+y2-2x-2y-23=0.(x-26)2+(y-1)2 (x-2)2+(y-1)2
即(x-1)2+(y-1)2=25.
∴点M的轨迹方程是(x-1)2+(y-1)2=25,
所求轨迹是以(1,1)为圆心,以5为半径的圆.
(2)当直线l的斜率不存在时,过点A(-2,3)的直线l:x=-2,
此时过点A(-2,3)的直线l被圆所截得的线段的长为:2
=8,52-32
∴l:x=-2符合题意.
当直线l的斜率存在时,设过点A(-2,3)的直线l的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,
圆心到l的距离d=
,|3k+2| k2+1
由题意,得(
)2+42=52,解得k=|3k+2| k2+1
.∴直线l的方程为5 12
x-y+5 12
=0.即5x-12y+46=0.23 6
综上,直线l的方程为x=-2,或5x-12y+46=0.