问题
解答题
已知函数f（x）=xlnx，g（x）=f（x）+f（m-x），m为正的常数．
（1）求函数g（x）的定义域；
（2）求g（x）的单调区间，并指明单调性；
（3）若a＞0，b＞0，证明：f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）-f（b）．
答案
（1）根据题意，f（x）的定义域为{x|x＞0}，
要使g（x）有意义，则
，x＞0 m-x＞2
那么g（x）的定义域为{x|a＜x＜m}．
（2）g（x）=f（x）+f（m-x）=xlnx+（m-x）ln（m-x）
则g'（x）=lnx+1-ln（m-x）-1
=lnx m-x
由g'（x）＞0，得
＞1，x m-x
解得：
＜x＜mm 2
由g'（x）＜0
得：0＜
＜1x m-x
解得：0＜x＜m 2
∴g（x）在[
，m)上为增函数，m 2
在(0，
}上为减函数m 2
（3）要证f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）-f（b）．
只须证f（a）+f（b）≥f（a+b）-（a+b）ln2
而在（2）中，取m=a+b，
则g（x）=f（x）+f（a+b-x）
则g（x）在[
，a+b）上为增函数，a+b 2
在(0，
]上为减函数．a+b 2
∴g（x）的最小值为：
g（
）=f（a+b 2
）+f（a+b-a+b 2
）=2f（a+b 2
）a+b 2
=（a+b）lna+b 2
=（a+b）ln（a+b）-（a+b）ln2
那么g（a）≥g（
）a+b 2
得：f（a）+f（a+b-a）≥（a+b）ln（a+b）-（a+b）ln2=f（a+b）-（a+b）ln2
即：f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）-f（b）