（1）f(x)=

x +1

x+3

，其定义域为[0，a]；（2分）

（2）令t=

x

+1，则t∈[1，

3

2

]且x=（t-1）²

∴y=f(x)=

t

(t-1)2+3

=

t

t2-2t+4

（5分）

∴y=

1

t-2+ 4 t

∵t-2+

4

t

在[1，2]上递减，在[2，+∞）上递增，

∴

t

t2-2t+4

在[1，

3

2

]上递增，即此时f（x）的值域为[

1

3

，

6

13

]（8分）

（3）令t=

x

+1，则t∈[1，1+

a

]且x=（t-1）²∴y=

1

t-2+ 4 t

∵t-2+

4

t

在[1，2]上递减，在[2，+∞）上递增，

∴y=

t

t2-2t+4

在[1，2]上递增，[2，1+

a]

上递减，（10分）

t=2时

t

t2-2t+4

的最大值为

1

2

，（11分）

∴a≥1，又1＜t≤2时

1

3

＜

t

t2-2t+4

∴由f（x）的值域恰为[

1

3

，

1

2

]，由

t

t2-2t+4

=

1

3

，解得：t=1或t=4（12分）

即f（x）的值域恰为[

1

3

，

1

2

]时，1+

a

≤4⇒a≤9（13分）

所求a的集合为{1，2，3，4，5，6，7，8，9}．（14分）