问题
解答题
已知函数f(x)=Asin(ωx+
（1）求函数f（x）的解析式； （2）若函数f（x）图象上的两点P，Q的横坐标依次为2，4，O为坐标原点，求△POQ的面积． |
答案
（1）∵f（x）的最大值为2，且A＞0，∴A=2．…（1分）
∵f（x）的最小正周期为8，∴T=
=8，得ω=2π ω
．…（2分）π 4
∴f（x）=2sin（
x+π 4
）．…（3分）π 4
（2）解法1：∵f(2)=2sin(
+π 2
)=2cosπ 4
=π 4
，…（4分）2
∴f(4)=2sin(π+
)=-2sinπ 4
=-π 4
，…（5分）2
∴P(2，
)，Q(4，-2
)．2
∴|OP|=
，|PQ|=26
，|OQ|=33
．…（8分）2
∴cos∠POQ=
=|OP|2+|OQ|2-|PQ|2 2|OP||OQ|
=(
)2+(36
)2-(22
)23 2
×36 2
．…（10分）3 3
∴sin∠POQ=
=1-cos2∠POQ
．…（11分）6 3
∴△POQ的面积为S=
|OP||OQ|sin∠POQ=1 2
×1 2
×36
×2
=36 3
．…（12分）2
解法2：∵f(2)=2sin(
+π 2
)=2cosπ 4
=π 4
，…（4分）2
∴f(4)=2sin(π+
)=-2sinπ 4
=-π 4
，…（5分）2
∴P(2，
)，Q(4，-2
)．2
∴直线OP的方程为y=
x，即x-2 2
y=0．…（7分）2
∴点Q到直线OP的距离为d=
=2|4+2| 3
．…（9分）3
∵|OP|=
，…（11分）6
∴△POQ的面积为S=
|OP|•d=1 2
×1 2
×26
=33
．…（12分）2