已知曲线C上的任意一点到定点F（1，0）的距离与到定直线x=-1的距

问题解答题

已知曲线C上的任意一点到定点F（1，0）的距离与到定直线x=-1的距离相等．

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）若曲线C上有两个定点A、B分别在其对称轴的上、下两侧，且|FA|=2，|FB|=5，求原点O到直线AB的距离．

答案

（1）∵曲线C上任意一点到点F（1，0）的距离与到直线x=-1的距离相等．

∴曲线C的轨迹是以F（1，0）为焦点的抛物线，且

=1，

∴曲线C的方程为y²=4x；

（2）由抛物线的定义结合|FA|=2可得，A到准线x=-1的距离为2，

即A的横坐标为1，代入抛物线方程可得y=2，即A（1，2），

同理可得B（4，-4），故直线AB的斜率k=

2-(-4)

1-4

=-2，

故AB的方程为y-2=-2（x-1），即2x+y-4=0，

由点到直线的距离公式可得：原点O到直线AB的距离为

|-4|

22+12