已知圆C以（3，-1）为圆心，5为半径，过点S（0，4）作直线l与圆C

问题解答题

已知圆C以（3，-1）为圆心，5为半径，过点S（0，4）作直线l与圆C交于不同两点A，B．

（Ⅰ）若AB=8，求直线l的方程；

（Ⅱ）当直线l的斜率为-2时，过直线l上一点P，作圆C的切线PT（T为切点）使PS=PT，求点P的坐标；

（Ⅲ）设AB的中点为N，试在平面上找一点M，使MN的长为定值．

答案

（Ⅰ）圆心C坐标（3，-1），半径r=5，

由条件可知：圆心C到直线l的距离为3．（3分）

当斜率不存在时，x=0符合条件；（4分）

当直线l斜率存在时，设其为k，

则

|3k+5|

k2+1

=3⇒k=-

，

则直线l的方程为8x+15y-60=0．

综上，直线l方程是8x+15y-60=0或x=0；（6分）

（Ⅱ）知直线l方程为y=-2x+4，设点P（a，4-2a），

则由PC²-r²=PS²得：a²+4a²=（a-3）²+（5-2a）²-25，

⇒a=

，

所求点P为(

，

)；（10分）

（Ⅲ）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半有：

定点M的坐标为 (

，

)．（16分）