定义在D上的函数，如果满足：存在常数M＞0，对任意x∈D都有|f（x

问题解答题

定义在D上的函数，如果满足：存在常数M＞0，对任意x∈D都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数．
（1）试判断函数f(x)=2sin(x+

)+3在实数集R上，函数g(x)=x3+

在[

，3]上是不是有界函数？若是，请给出证明；若不是，请说出理由．
（2）若已知某质点的运动距离S与时间t的关系为S(t)=

t4+3lnt-at，要使在t∈[

，3]上每一时刻的瞬时速度的绝对值都不大于13，求实数a的取值范围．

答案

（1）∵函数f(x)=2sin(x+

)+3在R上的最大值为5，最小值为-1，

存在常数M=5，对任意x∈R都有|f（x）|≤M，∴f（x）在R上是有界函数．

∵g(x)=x3+

，x∈[1，3]，∴g/(x)=3x2-

，

由g/(x)=3x2-

=0，得x=1或x=-1

所以g（x）在[

，1]上单调递减，g（x）在[1，3]上单调递增，而g(3)＞g(

)

∴g（x）在[

，3]上的最大值为g（3）=28，最小值为g（1）=4

所以存在常数M=28，对任意x∈[

，3]都有|g（x）|≤M，∴g（x）是[

，3]上是有界函数．

（2）因为运动方程为S(t)=

t4+3lnt-at，所以瞬时速度V(t)=S/(t)=t3+

-a

由当t∈[

，3]时，|V（t）|≤13恒成立，即|t3+

-a|≤13对t∈[

，3]恒成立

即

a≥t3+

-13

a≤t3+

+13

对t∈[

，3]恒成立，由（1）可得15≤a≤17

所以实数a的取值范围[15，17]