问题
解答题
设a为实数，函数f（x）=2x2+（x-a）|x-a|．
（1）当a=1时，判断函数f（x）在（1，+∞）的单调性并用定义证明；
（2）求f（x）的最小值．
答案
（1）当a=1，x＞1时，f（x）=2x2+（x-1）|x-1|=2x2+（x-1）2 =3x2-2x+1，…（1分）
则函数f（x）在（1，+∞）上单调递增．
证明：设1＜x1＜x2，由于f（x1）-f（x2）=3x12-2x1+1-(3x22-2x2+1)=（x1-x2）[3（x1+x2）-2]，…（4分）
∵x1＜x2，∴x1-x2＜0，∵1＜x1＜x2，∴x1+x2＞2，从而得3（x1+x2）-2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，故函数f（x）在（1，+∞）上单调递增．…（6分）
（2）∵当x≥a时，f（x）=3x2-2ax+a2，…（7分）
故 f(x)min=
=f(a)，a≥0 f(
)，a＜0a 3
．…（9分）2a2，a≥0
，a＜02a2 3
当x≤a时，f（x）=x2+2ax-a2，…（10分）
f(x)min=
=f(-a)，a≥0 f(a)，a＜0
．…（12分）-2a2，a≥0 2a2，a＜0
综上，f(x)min=
．…（14分）-2a2，a≥0
，a＜02a2 3
