问题
解答题
已知函数f(x)=|1-
（1）当0＜a＜b且f（a）=f（b）时，求证：ab＞1； （2）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值；若不存在，请说明理由． |
答案
（1）f（a）=f（b）得|1-
|=|1-1 a
|，1-1 b
=±(1-1 a
)，得a=b（舍）或1 b
+1 a
=21 b
∴2=
≥a+b ab
=2 ab ab
，∴2 ab
≥1ab
∵a≠b，∴等号不可以成立，故ab＞1…..…（5分）
（2）不存在.f(x)=
，1-
x≥11 x
-1 x＜11 x
①当a，b∈（0，1）时，f(x)=
-1在（0，1）上单调递减，可得1 x f(a)=b f(b)=a
∴
，
-1=b1 a
-1=a1 b
-1 a
=b-a得b=1 b
，-1=0矛盾1 a
②当a∈（0，1），b∈[1，+∞）时，显然1∈[a，b]，而f（1）=0，则0∈[a，b]矛盾
③当a，b∈[1，+∞)，f(x)=1-
在（1，+∞）上单调递增，可得1 x
∴f(a)=a f(b)=b
，a，b是方程1-1-
=a1 a 1-
=b1 b
=x的两个根，此方程无解； …（11分）1 x