问题 选择题

定义在R上的函数f(x)对一切实数x、y都满足f(x)≠0,且f(x+y)=f(x)•f(y),已知f(x)在(0,+∞)上的值域为(0,1),则f(x)在R上的值域是(  )

A.R

B.(0,1)

C.(0,+∞)

D.(0,1)∪(1,+∞)

答案

因为定义在R上的函数f(x)对一切实数x、y都满足f(x)≠0,且f(x+y)=f(x)•f(y),

令x=y=0可得f(0)=f(0)•f(0),

解得f(0)=1

再令y=-x,则可得f(0)=f(x)•f(-x)=1,

又f(x)在(0,+∞)上的值域为(0,1),

所以f(x)在(-∞,0)上的值域为(1,+∞)

综上,f(x)在R上的值域是(0,1)∪(1,+∞)

故选D

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