问题
解答题
已知函数f(x)=
（1）求函数f（x）的值域； （2）①判断函数f（x）的奇偶性；②用定义判断函数f（x）的单调性； （3）解不等式f（1-m）+f（1-m2）＜0． |
答案
（1）∵2x=
，（2分）1+y 1-y
又2x＞0，∴-1＜y＜1
∴函数f（x）的值域为（-1，1）（4分）
（2）证明：①∵f(-x)=
=2-x-1 2-x+1
=-f(x)，（6分）1-2x 1+2x
∴函数f（x）为奇函数（7分）
②f(x)=
=1-2x-1 2x+1 2 2x+1
在定义域中任取两个实数x1，x2，且x1＜x2，（8分）
则f(x1)-f(x2)=
（10分）2(2x1-2x2) (2x1+1)(2x2+1)
∵x1＜x2，∴0＜2x1＜2x2，
从而f（x1）-f（x2）＜0（11分）
∴函数f（x）在R上为单调增函数（12分）
（3）由（2）得函数f（x）为奇函数，在R上为单调增函数
∴f（1-m）+f（1-m2）＜0即f（1-m）＜-f（1-m2），
∴f（1-m）＜f（m2-1），1-m＜m2-1（14分）
∴原不等式的解集为（-∞，-2）∪（1，+∞）（16分）