问题 解答题
已知函数f(x)=
3
sin
ωx+φ
2
cos
ωx+φ
2
+sin2
ωx+φ
2
(ω>0,0<φ<
π
2
)
.其图象的两个相邻对称中心的距离为
π
2
,且过点(
π
3
,1)

(I)函数f(x)的达式;
(Ⅱ)在△ABC中.a、b、c分别是角A、B、C的对边,a=
5
S△ABC=2
5
,角C为锐角.且满f(
C
2
-
π
12
)=
7
6
,求c的值.
答案

(I)∵sin

ωx+φ
2
cos
ωx+φ
2
=
1
2
sin(ωx+φ),sin2
ωx+φ
2
=
1
2
[1-cos(ωx+φ)]

f(x)=

3
sin
ωx+φ
2
cos
ωx+φ
2
+sin2
ωx+φ
2

=

3
2
sin(ωx+φ)+
1
2
[1-cos(ωx+φ)]=sin(ωx+φ-
π
6
)+
1
2

∵函数图象的两个相邻对称中心的距离为

π
2
,∴函数的周期T=
ω
=π,得ω=2

∵点(

π
3
,1)是函数图象上的点,

∴f(

π
3
)=sin(2×
π
3
+φ+
π
6
)+
1
2
=1,解之得cosφ=
1
2

∵φ∈(0,

π
2
),∴φ=
π
3

因此,函数f(x)的达式为f(x)=sin(2x+

π
6
)+
1
2

(II)f(

C
2
-
π
12
)=sin(C-
π
6
+
π
6
)+
1
2
=
7
6
,解之得sinC=
2
3

∵0<C<

π
2
,∴cosC=
1-(sinC)2
=
5
3

又∵a=

5
,S△ABC=2
5

1
2
×a×b×sinC=2
5
,即
1
2
×
5
×b×
2
3
=2
5
,解之得b=6

根据余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=5+36-2×

5
×6×
5
3
=21

∴c=

21
,即得c的值为
21

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