问题
解答题
二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-1，1]上的值域；
（Ⅲ）在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围．
答案
（Ⅰ）设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax2+bx+1．
∵f（x+1）-f（x）=2x，∴a（x+1）2+b（x+1）+1-（ax2+bx+1）=2x．
即2ax+a+b=2x，所以
，∴2a=2 a+b=0
，∴f（x）=x2-x+1．a=1 b=-1
（Ⅱ）f(x)=x2-x+1=(x-
)2+1 2 3 4
所以当x∈[-1，1]时，ymin=f（
）=1 2
，ymax=f（-1）=33 4
∴函数的值域为[
，3]3 4
（Ⅲ）由题意得x2-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立．即x2-3x+1-m＞0在[-1，1]上恒成立．
设g（x）=x2-3x+1-m，其图象的对称轴为直线x=
，所以g（x）在[-1，1]上递减．3 2
故只需g（1）＞0，即12-3×1+1-m＞0，解得m＜-1．