（1）∵圆C₁与直线x=1-2

2

相切于点A(1-2

2

，1)，

∴圆心C₁在直线y=1上，…（1分）

又圆心C₁在直线x-y=0上，

∴圆心C₁为直线y=1和直线x-y=0的交点，即点（1，1）．…（2分）

∵圆C₁与直线x=1-2

2

相切，

∴圆C₁的半径等于点（1，1）到直线x=1-2

2

的距离，

即圆C₁的半径为|1-(1-2

2

)|=2

2

∴圆C₁的方程为（x-1）²+（y-1）²=8…（5分）

（2）∵圆心C₁到直线l₂的距离为d=

|1+1-8|

2

=3

2

＞2

2

…（7分）

∴直线l₂与圆C₁相离．…（8分）

（3）由已知，可设圆C₂的方程为（x-a）²+（y-b）²=8，

∵圆C₂经过点（1，1），

∴（1-a）²+（1-b）²=8，即（a-1）²+（b-1）²=8，

∴圆C₂的圆心C₂（a，b）在圆C₁上．…（10分）

设直线l₂：x+y-8=0与圆C₂的交点分别为M，N，MN的中点为P，

由圆的性质可得：|MN|2=4(8-|C2P|2)，

所以求直线l₂被圆C₂截得弦长MN的最大值即求C₂P的最小值．…（12分）

又因为C₁到直线l₂的距离为d=3

2

，

所以C₂P的最小值为d-|C1C2|=3

2

-2

2

=

2

，

所以(|MN|2)max=4[8-(

2

)2]=24，

即MNmax=2

6

，

故直线l₂被圆C₂截得弦长的最大值为2

6

．…（14分）