（Ⅰ）因为二次函数f（x）=ax²+bx满足条件f（1-x）=f（1+x），

所以函数f（x）图象的对称轴是直线x=1．所以-

b

2a

=1，即b=-2a． …2分

因为函数g（x）=f（x）-x只有一个零点，即ax²-（2a+1）x=0有等根．

所以△=（2a+1）²=0．…4分

即a=-

1

2

，b=1．所以f （x）=-

1

2

x²+x．      …6分

（Ⅱ）①当m＜n＜1时，f （x）在[m，n]上单调递增，f （m）=3m，f （n）=3n，

所以m，n是-

1

2

x²+x=3x的两根．

解得m=-4，n=0；                    …8分

②当m≤1≤n时，3n=

1

2

，解得n=

1

6

．不符合题意；  …10分

③当1＜m＜n时，f （x）在[m，n]上单调递减，所以f （m）=3n，f （n）=3m．

即-

1

2

m²+m=3n，-

1

2

n²+n=3m．

相减得-

1

2

（m²-n²）+（m-n）=3（n-m）．

因为m≠n，所以-

1

2

（m+n）+1=-3．所以m+n=8．

将n=8-m代入-

1

2

m²+m=3n，

得-

1

2

m²+m=3（8-m）．但此方程无解．

所以m=-4，n=0时，f （x）的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]．…14分．