（1）∵a=1，

∴函数f（x）=x²-2ax-3a²=x²-2x-3=（x-1）²-4≥-4，

故函数的值域为[-4，+∞）．

（2）函数f（x）=x²-2ax-3a²=（x-a）²-4a²，对称轴为 x=a．

当a≥1时，在区间[1，4a]上，函数f（x）最小值为-4a²，最大值为5a²，由题意得

-4a²≥-4a 且 5a²≤4a，显然 a无解．

当1＞a＞

1

4

时，函数f（x）在[1，4a]上是增函数，最小值为1-2a-3a²，最大值为 5a²，

由题意得1-2a-3a²≥-4a  且 5a²≤4a．  解得 

1

4

a≤

4

5

，故实数a的取值范围为 (

1

4

，

4

5

]．