设曲线y=（ax-1）ex在点A（x0，y1）处的切线为l1，曲线y=（1-x）

问题填空题

设曲线y=（ax-1）e^x在点A（x₀，y₁）处的切线为l₁，曲线y=（1-x）e^-x在点B（x₀，y₂）处的切线为l₂．若存在x0∈[0，

]，使得l₁⊥l₂，则实数a的取值范围为______．

答案

函数y=（ax-1）e^x的导数为y′=（ax+a-1）e^x，

∴l₁的斜率为k1=(ax0+a-1)ex0，

函数y=（1-x）e^-x的导数为y′=（x-2）e^-x

∴l₂的斜率为k2=(x0-2)e-x0，

由题设有k₁•k₂=-1从而有(ax0+a-1)ex0•(x0-2)e-x0=-1

∴a（x₀²-x₀-2）=x₀-3

∵x0∈[0，

]得到x₀²-x₀-2≠0，所以a=

x0-3

-x0-2

，

又a′=

-(x0-1)(x0-5)

(

-x0-2)2

，另导数大于0得1＜x₀＜5，

故

x0-3

-x0-2

在（0，1）是减函数，在（1，

）上是增函数，

x₀=0时取得最大值为

0-3

02-0-2

；

x₀=1时取得最小值为1．

∴1≤a≤

故答案为：1≤a≤