由题意可得：动圆圆心C（a，b）的方程为y²=4x．即b²=4a．

∵动圆C与直线y=x+2

2

+1总有公共点，∴圆心C到此直线的距离d≤r=|a+1|=a+1．

∴

|a-b+2 2 +1|

2

≤a+1，

又a=

b2

4

，上式化为|(

b

2

-1)2+2

2

|≤

2

(

b2

4

+1)，化为(

2

-1)b2+4b-4(

2

+1)≥0

解得b≥2或b≤-(6+4

2

)．

当b=2时，a取得最小值1，此时圆C由最小面积π×（1+1）²=4π．

故选D．