问题
解答题
已知函数f（x）=logm
（1）求函数的定义域； （2）判断f（x）的奇偶性并证明； （3）若f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），判断f（x）在定义域上的增减性，并加以证明． |
答案
（1）对于函数f（x）=logm
，x-3 x+3
有
＞0，x-3 x+3
解可得，x＞3或x＜-3，
则函数f（x）=logm
的定义域为{x|x＞3或x＜-3}；x-3 x+3
（2）由（1）可得，f（x）=logm
的定义域为{x|x＞3或x＜-3}，关于原点对称，x-3 x+3
f（-x）=logm
=logm-x-3 -x+3
=-logmx+3 x-3
，x-3 x+3
即f（-x）=-f（x），
f（x）为奇函数；
（3）根据题意，f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），则[α，β]⊂（3，+∞）．
设x1，x2∈[α，β]，且x1＜x2，则x1，x2＞3，
f（x1）-f（x2）=logm
-logmx1-3 x1+3
=logmx2-3 x2+3 (x1-3)(x2+3) (x1+3)(x2-3)
∵（x1-3）（x2+3）-（x1+3）（x2-3）=6（x1-x2）＜0，
∴（x1-3）（x2+3）＜（x1+3）（x2-3）即
＜1，(x1-3)(x2+3) (x1+3)(x2-3)
∴当0＜m＜1时，logm
＞0，即f（x1）＞f（x2）；(x1-3)(x2+3) (x1+3)(x2-3)
当m＞1时，logm
＜0，即f（x1）＜f（x2），(x1-3)(x2+3) (x1+3)(x2-3)
故当0＜m＜1时，f（x）为减函数；m＞1时，f（x）为增函数．