（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数∴f（0）=0（1分）

又∵x＞0时，f(x)=x2-

1

3

x3

∴当x＜0时-x＞0f(x)=-f(-x)=-(x2+

1

3

x3)

∴f(x)=

x2- 1 3 x3(x≥0) -x2- 1 3 x3(x＜0)

（3分）

（2）由（1）知当x∈（-∞，0）时，f(x)=-x2-

1

3

x3，∴f'（x）=-2x-x²（4分）

令f'（x）=0得x=-2或x=0

当x∈（-∞，-2）时，f'（x）＜0，f（x）是减函数

当x∈（-2，0）时，f'（x）＞0，f（x）是增函数

∴f（x）在区间（-∞，-2）上是减函，数在（-2，0）上是增函数．（7分）

（3）∵当x＞0时，f(x)=x2-

1

3

x3

∴g（x）=f'（x）=2x-x²=-（x-1）²+1

又∵a＞1

∴g（x）在区间[

1

2

，a]上，当x=1时g（x）取得最大值1．

当1＜a≤

3

2

时，g(x)min=g(

3

2

)=

3

4

，由

3

4

=

1

a

得a=

4

3

∈(1，

3

2

]

当a＞

3

2

时，g（x）_min=g（a）=2a-a²

由2a-a2=

1

a

得a=

1+ 5

2

或a=

1- 5

2

∉(

3

2

，+∞)或a=1∉(

3

2

，+∞)

∴所求的a的值为a=

4

3

或a=

1+ 5

2

（12分）