问题 解答题
已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时f(x)=x2-
1
3
x3

(1)求f(x)的解析式
(2)讨论函数f(x)在区间(-∞,0)上的单调性
(3)设g(x)是函数f(x)在区间(0,+∞)上的导函数.若a>1且g(x)在区间[
1
2
,a]
上的值域为[
1
a
,1]
,求a的值.
答案

(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数∴f(0)=0(1分)

又∵x>0时,f(x)=x2-

1
3
x3

∴当x<0时-x>0f(x)=-f(-x)=-(x2+

1
3
x3)

f(x)=

x2-
1
3
x3(x≥0)
-x2-
1
3
x3(x<0)
(3分)

(2)由(1)知当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2-

1
3
x3,∴f'(x)=-2x-x2(4分)

令f'(x)=0得x=-2或x=0

当x∈(-∞,-2)时,f'(x)<0,f(x)是减函数

当x∈(-2,0)时,f'(x)>0,f(x)是增函数

∴f(x)在区间(-∞,-2)上是减函,数在(-2,0)上是增函数.(7分)

(3)∵当x>0时,f(x)=x2-

1
3
x3

∴g(x)=f'(x)=2x-x2=-(x-1)2+1

又∵a>1

∴g(x)在区间[

1
2
,a]上,当x=1时g(x)取得最大值1.

1<a≤

3
2
时,g(x)min=g(
3
2
)=
3
4
,由
3
4
=
1
a
a=
4
3
∈(1,
3
2
]

a>

3
2
时,g(x)min=g(a)=2a-a2

2a-a2=

1
a
a=
1+
5
2
a=
1-
5
2
∉(
3
2
,+∞)
a=1∉(
3
2
,+∞)

∴所求的a的值为a=

4
3
或a=
1+
5
2
(12分)

单项选择题
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