问题
解答题
已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时f(x)=x2-
(1)求f(x)的解析式 (2)讨论函数f(x)在区间(-∞,0)上的单调性 (3)设g(x)是函数f(x)在区间(0,+∞)上的导函数.若a>1且g(x)在区间[
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答案
(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数∴f(0)=0(1分)
又∵x>0时,f(x)=x2-
x31 3
∴当x<0时-x>0f(x)=-f(-x)=-(x2+
x3)1 3
∴f(x)=
(3分)x2-
x3(x≥0)1 3 -x2-
x3(x<0)1 3
(2)由(1)知当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2-
x3,∴f'(x)=-2x-x2(4分)1 3
令f'(x)=0得x=-2或x=0
当x∈(-∞,-2)时,f'(x)<0,f(x)是减函数
当x∈(-2,0)时,f'(x)>0,f(x)是增函数
∴f(x)在区间(-∞,-2)上是减函,数在(-2,0)上是增函数.(7分)
(3)∵当x>0时,f(x)=x2-
x31 3
∴g(x)=f'(x)=2x-x2=-(x-1)2+1
又∵a>1
∴g(x)在区间[
,a]上,当x=1时g(x)取得最大值1.1 2
当1<a≤
时,g(x)min=g(3 2
)=3 2
,由3 4
=3 4
得a=1 a
∈(1,4 3
]3 2
当a>
时,g(x)min=g(a)=2a-a23 2
由2a-a2=
得a=1 a
或a=1+ 5 2
∉(1- 5 2
,+∞)或a=1∉(3 2
,+∞)3 2
∴所求的a的值为a=
或a=4 3
(12分)1+ 5 2